题目
函数f(x)=|cos2x|+|cos2x|的值域为________.
修改f(x)=|cos2x|+|cosx|
修改f(x)=|cos2x|+|cosx|
提问时间：2021-02-11
答案
y=|cos2x|+|cosx|=|2cos²x-1|+|cosx|=|2|cosx|-²1|+|cosx|,
设|cosx|=t≥0,y=|2t²-1|+t,
①√2/2≤t≤1时,y=2t²-1+t=2(t+1/4)²-9/8
√2/2≤t≤1时函数单调递增,y∈[√2/2,2]
②0≤t≤√2/2时,y=1-2t²+t=-2(t-1/4)²+9/8,
此时t=1/4时,函数取得最大值9/8,
t=√2/2时,函数取得最小值√2/2.所以y∈[√2/2,9/8]
综合①②知,函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为[√2/2,2].
设|cosx|=t≥0,y=|2t²-1|+t,
①√2/2≤t≤1时,y=2t²-1+t=2(t+1/4)²-9/8
√2/2≤t≤1时函数单调递增,y∈[√2/2,2]
②0≤t≤√2/2时,y=1-2t²+t=-2(t-1/4)²+9/8,
此时t=1/4时,函数取得最大值9/8,
t=√2/2时,函数取得最小值√2/2.所以y∈[√2/2,9/8]
综合①②知,函数y=|cos2x|+|cosx|的值域为[√2/2,2].
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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