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题目
如图,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于点F,EF=EC,连接DF.

(1)试说明梯形ABCD是等腰梯形;
(2)若AD=1,BC=3,DC=
2
,试判断△DCF的形状;
(3)在条件(2)下,射线BC上是否存在一点P,使△PCD是等腰三角形,若存在,请直接写出PB的长;若不存在,请说明理由.

提问时间:2021-02-10

答案
(1)证明:∵EF=EC,
∴∠EFC=∠ECF,
∵EF∥AB,
∴∠B=∠EFC,
∴∠B=∠ECF,
∴梯形ABCD是等腰梯形;
(2)△DCF是等腰直角三角形,
证明:∵DE=EC,EF=EC,
∴EF=
1
2
CD,
∴△CDF是直角三角形(如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形),
∵梯形ABCD是等腰梯形,且AD=1,BC=3,
∴CF=
1
2
(BC-AD)=1,
∵DC=
2

∴由勾股定理得:DF=1,作业帮
∴△DCF是等腰直角三角形;
(3)共四种情况:
∵DF⊥BC,
∴当PF=CF时,△PCD是等腰三角形,
即PF=1,
∴PB=1;
当P与F重合时,△PCD是等腰三角形,
∴PB=2;
当PC=CD=
2
(P在点C的左侧)时,△PCD是等腰三角形,
∴PB=3-
2

当PC=CD=
2
(P在点C的右侧)时,△PCD是等腰三角形,
∴PB=3+
2

故共四种情况:PB=1,PB=2,PB=3-
2
,PB=3+
2
.(每个1分)
(1)根据在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形进行判断;
(2)如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形,
(3)分四种情况,分别计算.

等腰梯形的判定;等腰三角形的判定.

考查等腰梯形的判定,直角三角形的判定以及等腰三角形的判定.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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