题目

用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）可组成多少个无重复数字的自然数？
（2）可组成多少个无重复数字的四位偶数？
（3）组成无重复数字的四位数中比4023大的数有多少？（要求算出最终结果）

提问时间：2021-02-10

答案

（1）由题意知，分情况讨论：
①若组成一位数，有6种情况；
②若组成两位数，由于十位不为0，则十位有5种选择，个位也有5种选择，共5×5=25个；
③若组成三位数，由于百位不为0，则百位有5种选择，个位、十位有A₅²=20种选择，共5×20=100个；
④若组成四位数，由于千位不为0，则千位有5种选择，百位、个位、十位有A₅³=60种选择，共5×60=300个；
⑤若组成五位数，由于万位不为0，则万位有5种选择，其他位置有A₅⁴=120种选择，共5×120=600个；
⑥若组成六位数，由于首位不为0，则首位有5种选择，其他位置有A₅⁵=60种选择，共5×120=600个；
由分类计数原理可得，共有6+25+100+300+600+600=1631个；
（2）第一类：0在个位时有A₅³个；
第二类：2在个位时，首位从1，3，4，5中选定1个（有A₄¹种），十位和百位从余下的数字中选（有A₄²种），于是有A₄¹A₄²个；
第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A₄¹A₄²个．
共有四位偶数：A₅³+A₄¹A₄²+A₄¹A₄²=156个．
（3）当首位是5时，其他几个数字在三个位置上排列，共有A₅³=60，
当首位是4时，第二位从1，2，3，5四个数字中选一个，共有C₄¹A₄²=48
当前两位是40时，第三位是3，最后一位三选一，共有A₃¹=3种，
当前两位是40时，第三位是5，最后一位三选一，共有A₃¹=3种，
当前三位是402时，第四位必须为5，有1种情况，
根据分类加法原理得到共有A³₅+A¹₄A²₄+2A¹₃+1=115