题目

正三棱柱ABC-EFG内切与半径为2的球体,若A,B两点的球面距离为tt,则正三棱柱的体积为?
中间有个tt,其实是3.1415926,就是派,我打不出来只好拿这个来充数了,就是3.1415926的那个常数

提问时间：2021-02-10

答案

问个不大不小的问题:
内切为什么会有球面距离,只能说是内接
如果是内接
设球心为O,做OH垂直面ABC,H是ABC的中点
连接0A,OB的球面距离是л,而OAB所在大圆的周长是4л
可以断定角AOB=360/4=90度
而OA=OB=2,所以AB=2√2
等边三角形AH=√3/3*AB=2√6/3
三角形AHO中
HO=2√3/3
因为是正三棱柱
高=2HO=4√3/3
三角形ABC的面积是√6*2√2/2=2√3
体积是8
PS:单位为1的正三角形中,中心是O
顶点到O的距离是√3/3 *1
O到边的距离是√3/6 *1
面积是√3/4 *1^2(单位的平方)
这些如果是高中基本可以当定理来用的