题目

证明,若f在（0,+∞）上为连续函数,且对任何a〉0有g(x)=∫【ax,x】f(t)dt≡常数,x∈（0,+∞）,则
则f(x)=c/x,x∈（0,+∞）,c为常数.

提问时间：2021-02-10

答案

因为g(x)=∫【ax,x】f(t)dt≡常数,因为f连续,所以g可导,g'=af(ax)-f(x)=0.再根据导数的定义对f求导,f'=f(x+Δx)-f(x)/Δx(Δx->0),又因为af(ax)-f(x)=0,所以f(x+Δx)=f(x)/(1+Δx/x),代入再取极限f'(x)=-f(x)/x,积分...