题目

如图,等腰Rt△ABC中,AC=BC,E为BC延长线上一点,连AE,若线段AE的中垂线交∠ACB的平分线于P点,交AC于F
（1）求证：PB=PE
(2)试判断线段BC,CE,CP之间的数量关系
（3）若BC=7,当CE=--------时,AF=2EF(直接填写结论）

提问时间：2021-02-10

答案

(1)因为P点为位于线段AE的垂直平分线上,所以PA=PE（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
因为Rt△ABC中AC=BC,可知Rt△ABC为等腰三角形,由于CP为∠ACB的角平分线,所以由三线合一得CP也为底边AB的垂直平分线,所以AP=BP.
因为PA=PE,AP=BP,所以PB=PE.
(2)不知道你是不是上高中,这一问用直线方程比较容易求解.
设C点为坐标原点,设AE的中点为D,AC=BC=a,CE=b,则由题意可知各点坐标为：
A(0,a),B(a,0),E(-b,0),D(-b/2,a/2)
由A、E点坐标可算出直线AE的斜率为k=a/b；因为直线PD和直线AE垂直,所以直线PD的斜率k'=-b/a.
由直线PD的斜率和D点坐标可得直线PD的方程为：y=(-b/a)*x + (a^2-b^2)/(2a);
且由题意可知∠ACB的平分线即直线y=x
可得两条直线的交点即P点的坐标为[(a-b)/2,(a-b)/2]（相当于联立以上两个直线方程,解方程）
所以CP的长度为：√{[(a-b)/2]^2+[(a-b)/2]^2} = (√2)/2 * (a-b)
由之前的假设BC=a,CE=b可得：CP=[(√2)/2] *(BC-CE) （2分之根号2倍的BC-CE）
(3)AF=2EF?F位于线段AE的中垂线上,所以AF=EF!题目写错了吧?
希望能够帮到你,请核对题目之后再给你解.