题目

如图,A、P、B、C是⊙O上的四点,∠APC=∠CPB=60°,求证：PA+PB=PC

提问时间：2021-02-09

答案

证明：在PC上取点D,使AP＝PD
∵∠APC、∠ABC所对应圆弧都为劣弧AC,∠APC＝60
∴∠ABC＝∠APC＝60
∵∠CAB、∠CPB所对应圆弧都为劣弧BC,∠CPB＝60
∴∠CAB＝∠CPB＝60
∴等边△ABC
∴AB＝AC
∵AP＝PD
∴等边△PAD
∴AD＝AP,∠PAD＝60
∵∠PAB＝∠PAD-∠BAD＝60-∠BAD,∠DAC＝∠CAB-∠BAD＝60-∠BAD
∴∠PAB＝∠DAC
∴△PAB≌△DAC （SAS）
∴CD＝BP
∵PD+CD＝PC
∴AP+BP＝PC