题目

设有两个命题：p：不等式|x|+|x-1|≥m的解集为R；q：函数f（x）=-（7-3m）^x是减函数．若这两个命题中有且只有一个真命题，求实数m的范围．

提问时间：2021-02-09

答案

若p为真命题，令y=|x|+|x-1|，
则不等式|x|+|x-1|≥m的解集为R等价为m≤y_min，
∵y=

1-2x，x＜0 1，0≤x≤1 2x-1，x＞1

∴y_min=1，即m≤1．
或由y=|x|+|x-1|≥|x-（x-1）|=1，即y_min=1．
∴m≤1．
若q为真命题，则由指数函数的单调性得：
7-3m＞1，即m＜2．
由于这两个命题中有且只有一个真命题，
故p，q一真一假．
若p真q假，则m

m≤1 m≥2

则m∈∅，
若p假q真，则

m＞1 m＜2

，解得1＜m＜2．
综上所述，实数m的范围是：1＜m＜2．

可以先考虑p，q均为真命题，求出m的范围，再由这两个命题中有且只有一个真命题得p，q一真一假，列出不等式组，解出它们，求并即可．

本题考点：命题的真假判断与应用．

考点点评：本题以命题的真假为载体，考查绝对值函数的最值和指数函数的单调性及应用，注意掌握不等式恒成立问题往往转化为求函数最值问题，这是一道基础题．