题目
已知,如图AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC交AC于D,求证:BC=AB+CD.
提问时间:2021-02-08
答案
证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD=
∠ABC.
在△ABD和△EBD中,
,
∴△ABD≌△EBD.(SAS)
∴∠BED=∠A=108°,∠ADB=∠EDB.
又∵AB=AC,∠A=108°,∠ACB=∠ABC=
×(180°-108°)=36°,
∴∠ABD=∠EBD=18°.
∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°.
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°.
∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°.
∴∠CDE=∠DEC.
∴CD=CE.
∴BC=BE+EC=AB+CD.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠EBD=
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在△ABD和△EBD中,
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∴△ABD≌△EBD.(SAS)
∴∠BED=∠A=108°,∠ADB=∠EDB.
又∵AB=AC,∠A=108°,∠ACB=∠ABC=
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∴∠ABD=∠EBD=18°.
∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°.
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°.
∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°.
∴∠CDE=∠DEC.
∴CD=CE.
∴BC=BE+EC=AB+CD.
证明线段的和差倍分问题常用截长补短的方法.
在线段BC上截取BE=BA,连接DE.则只需证明CD=CE即可.结合角度证明∠CDE=∠CED.
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此题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的判定,综合性较强.
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