题目

函数f（x）=x²+ax+3，当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-02-08

答案

∵函数f（x）=x²+ax+3，当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，
∴（x-1）a≥-x²-3，当x∈[-2，2]时恒成立，
①当x∈（1，2]时，
∴a≥

−x2− 3

x−1

在x∈（1，2]恒成立
令 g(x)＝

−x2−3

x−1

，x∈（1，2]即a≥g（x）_max
∵g′（x）=−

(x−3)(x+1)

(x−1)2

，∴（1，2]为增区间，g（2）最大，且为-7
∴a≥-7；
②当x∈[-2，1）时，
∴a≤

−x2− 3

x−1

在x∈[-2，1）恒成立
令 g(x)＝

−x2−3

x−1

，x∈[-2，1），
即a≤g（x）_min
而 g(x)＝

−x2−3

x−1

在∈[-2，1）上的最小值为g（-1）=2，
∴a≤2；
综上所述，实数a的取值范围：[-7，2]．