题目

求有分式的函数的值域
请通过例子说明,希望能浅显易懂

提问时间：2021-02-08

答案

1.裂项法:将一个分式化为几个式子的和,其中只有一个式子分母含有x.适合简单的分式函数或分子分母x都是一次的分式函数.
例：求y=2x/(5x+1)的值域
y=2[x+(1/5)-(1/5)]/5[x+(1/5)]=(2/5)-[2/5(5x+1)]
∵x≠-1/5 ∴y≠2/5
∴值域为{y｜y∈R且y≠2/5}
2.判别式法：将原函数化为以y为系数关于x的一元二次方程的形式,该方程有实数根则△≥0,可求出y取值范围.适合分子分母为二次的分式函数.（注意：将原函数化为以y为系数关于x的一元二次方程中要考虑x²系数能否为0）
例：求y=(2x²-2x+3)/（x²-x+1）的值域
将原函数化为（y-2）x²-(y-2)x+(y-3)=0
当y≠0时,上述关于x的一元二次方程有实数根,
∴△=[-(y-2)²]-4(y-2)(y-3)≥0 解得 2＜y≤10/3
当y=2时,方程无解
∴函数值域为（2,10/3]
（求函数值域方法还有：配方、换元、图象等.上述2方法适合求分式函数值域.）