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题目
已知平行四边形ABCD,AC、BD为对角线,求证:AC2+BD2=2(AB2+BC2).

提问时间:2021-02-08

答案
证明:作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于F,
则∠AEB=∠DFC=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,AB∥CD,
∴∠ABE=∠DCF,
在△ABE和△DCF中,
∠AEB=∠DFC
∠ABE=∠DCF
AB=DC

∴△ABE≌△DCF(AAS),
∴AE=DF,BE=CF.
在Rt△ACE和Rt△BDF中,由勾股定理,得
AC2=AE2+EC2=AE2+(BC-BE)2
BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=AE2+(BC+BE)2
∴AC2+BD2=2AE2+2BC2+2BE2=2(AE2+BE2)+2BC2
又∵AE2+BE2=AB2
∴AC2+BD2=2(AB2+BC2).
作AE⊥BC于点E,DF⊥BC交BC的延长线于F,再根据四边形ABCD是平行四边形,求证△ABE≌△DCF,得出AE=DF,BE=CF,由勾股定理得AC2=AE2+EC2=AE2+(BC-BE)2,BD2=DF2+BF2=DF2+(BC+CF)2=AE2+(BC+BE)2,所以AC2+BD2=2(AB2+BC2).

平行四边形的性质.

此题主要考查学生对勾股定理、平行四边形的性质和全等三角形的性质的理解和掌握,此题涉及到的知识点较多,综合性很强,有一定的拔高难度,属于难题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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