题目
∫sint/tdt=π积分下、上限分别为-∞,∞,怎么证?
信号与系统里的一个结论,sint/t是抽样信号,求它在整个时间上的积分。我记得复变函数里有相关的证明,可一下子找不着书了,
谢谢root_gao,
w2gh你的方法很不错,把答案复制到这里,不要浪费分了,
信号与系统里的一个结论,sint/t是抽样信号,求它在整个时间上的积分。我记得复变函数里有相关的证明,可一下子找不着书了,
谢谢root_gao,
w2gh你的方法很不错,把答案复制到这里,不要浪费分了,
提问时间:2021-02-06
答案
证明这个函数的在整个定义域内连续,可导,可积省略.
下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞,下限为0)
因为sint/t不存在初等函数的原函数,所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分.
I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞,下限为0)
显然:
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0)
I`(x)=∫∂(e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞,下限为0)
=∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞,下限为0)
=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞,下限为0)
=-1/(1+x^2)
从而有
I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)
|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|
≤∫|e^(-xt)sint/t|dt
≤∫e^(-xt)dt
=-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数,上限为∞,下限为0)
=1/x -->0 (x-->+∞)
即lim(I(x))-->0 (x-->+∞)
对(1)式两端取极限:
lim(I(x))(x-->+∞)
=-lim(-arctan(x)+C ) (x-->+∞)
=-π/2+C
即有0=-π/2+C,可得C=π/2
于是(1)式为
I(x)=-arctan(x)+π/2
limI(x)=lim(-arctan(x)+π/2) (x-->0)
I(0)=π/2
所以有
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0)=π/2
因为sinx/x是偶函数,所以
∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为-∞)
=π
这个地方些数学公式很是不方便的.另外也可以用复变函数来求解的.如果有不懂的地方问我.
下面证明∫sint/tdt=π/2(积分上限为∞,下限为0)
因为sint/t不存在初等函数的原函数,所以下面引入一个“收敛因子”e^(-xt)(x>=0),转而讨论含参量的积分.
I(x)=∫e^(-xt)sint/tdt (积分上限为∞,下限为0)
显然:
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0)
I`(x)=∫∂(e^(-xt)sint/t)/∂x dt (积分上限为∞,下限为0)
=∫e^(-xt)sin(t)sint(积分上限为∞,下限为0)
=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限为∞,下限为0)
=-1/(1+x^2)
从而有
I(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+C (1)
|I(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|
≤∫|e^(-xt)sint/t|dt
≤∫e^(-xt)dt
=-(1/x)*e^(-xt)|(对t的积分原函数,上限为∞,下限为0)
=1/x -->0 (x-->+∞)
即lim(I(x))-->0 (x-->+∞)
对(1)式两端取极限:
lim(I(x))(x-->+∞)
=-lim(-arctan(x)+C ) (x-->+∞)
=-π/2+C
即有0=-π/2+C,可得C=π/2
于是(1)式为
I(x)=-arctan(x)+π/2
limI(x)=lim(-arctan(x)+π/2) (x-->0)
I(0)=π/2
所以有
I(0)=∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为0)=π/2
因为sinx/x是偶函数,所以
∫sint/tdt(积分上限为∞,下限为-∞)
=π
这个地方些数学公式很是不方便的.另外也可以用复变函数来求解的.如果有不懂的地方问我.
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