当前位置: > 在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,向量m=(2sinB,2cosB),n=(3cosB,-cosB),且m•n=1. (1)求角B; (2)若a,b,c成等差数列,且b=2,求△A...
题目
在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,向量
m
=(2sinB,2cosB)
n
=(
3
cosB,-cosB)
,且
m
n
=1

(1)求角B;
(2)若a,b,c成等差数列,且b=2,求△ABC的面积.

提问时间:2021-02-06

答案
(1)∵向量
m
=(2sinB,2cosB)
n
=(
3
cosB,-cosB)
,且
m
n
=1

2sinB•
3
cosB-2cos2B=1

化简得
3
sin2B-cos2B=2
,可得sin(2B-
π
6
)=1
,…(5分)
又0<B<π,得-
π
6
<2B-
π
6
<
11π
6

2B-
π
6
=
π
2
,解之得B=
π
3
…(7分)
(2)∵a,b,c成等差数列,b=2,∴a+c=2b=4.
又∵b2=a2+c2-2ac•cosB,
4=a2+c2-2ac•cos
π
3
,即4=a2+c2-ac…(10分)
将a+c=4代入,得a2-4a+4=0,得a=2,
从而c=2,三角形为等边三角形.…(12分)
因此,△ABC的面积S =
1
2
acsinB=
3
.…(14分)
(1)根据向量数量积的运算公式,结合三角恒等变换公式化简整理,得sin(2B−
π
6
)=1
,再由0<B<π,解此方程可得角B的大小;
(2)根据余弦定理,建立关于a、c的方程并化简得4=a2+c2-ac,而a、b、c成等差数列得a+c=2b=4,代入前面的式子解出a=c=2,从而得到△ABC是等边三角形,由此不难得到△ABC的面积.

平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;余弦定理.

本题给出向量含有三角函数式的坐标,在已知数量积的情况下求△ABC中角B的大小,并依此求△ABC的面积.着重考查了三角恒等变换公式、向量的数量积坐标公式和正余弦定理解三角形等知识,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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