题目

在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，向量

m

=(2sinB，2cosB)，

n

=(

3

cosB，-cosB)，且

m

•

n

=1．
（1）求角B；
（2）若a，b，c成等差数列，且b=2，求△ABC的面积．

提问时间：2021-02-06

答案

（1）∵向量

m

=(2sinB，2cosB)，

n

=(

3

cosB，-cosB)，且

m

•

n

=1，
∴2sinB•

3

cosB-2cos2B=1，
化简得

3

sin2B-cos2B=2，可得sin(2B-

π

6

)=1，…（5分）
又0<B<π，得-

π

6

<2B-

π

6

<

11π

6

，
∴2B-

π

6

=

π

2

，解之得B=

π

3

…（7分）
（2）∵a，b，c成等差数列，b=2，∴a+c=2b=4．
又∵b²=a²+c²-2ac•cosB，
∴4=a2+c2-2ac•cos

π

3

，即4=a²+c²-ac…（10分）
将a+c=4代入，得a²-4a+4=0，得a=2，
从而c=2，三角形为等边三角形．…（12分）
因此，△ABC的面积S =

1

2

acsinB=

3

．…（14分）

（1）根据向量数量积的运算公式，结合三角恒等变换公式化简整理，得sin(2B−

π

6

)＝1，再由0＜B＜π，解此方程可得角B的大小；
（2）根据余弦定理，建立关于a、c的方程并化简得4=a²+c²-ac，而a、b、c成等差数列得a+c=2b=4，代入前面的式子解出a=c=2，从而得到△ABC是等边三角形，由此不难得到△ABC的面积．

本题考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．

考点点评：本题给出向量含有三角函数式的坐标，在已知数量积的情况下求△ABC中角B的大小，并依此求△ABC的面积．着重考查了三角恒等变换公式、向量的数量积坐标公式和正余弦定理解三角形等知识，属于中档题．