题目

对任意a∈[-1，1]，函数f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于0，则x的范围是（　　）
A. x＜1或x＞2
B. 1＜x＜2
C. x＜1或x＞3
D. 1＜x＜3

提问时间：2021-02-05

答案

原问题可转化为关于a的一次函数y=a（x-2）+x²-4x+4＞0在a∈[-1，1]上恒成立，
只需

(−1)•(x−2)+x2−4x+4＞0 1×(x−2)+x2−4x+4＞0

，
∴

x＞3 或x＜2 x＞2或x＜1

，
∴x＜1或x＞3．
故选C．

把二次函数的恒成立问题转化为y=a（x-2）+x²-4x+4＞0在a∈[-1，1]上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件即可求出x的取值范围．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：此题是一道常见的题型，把关于x的函数转化为关于a的函数，构造一次函数，因为一次函数是单调函数易于求解，对此类恒成立题要注意．