题目

已知S（x）=a1x+a2x^2+L+anx^n,且a1,a2,L,an,组成等差数列,设S(1)=n^2
1；求数列{an}的通项公式
2；证明；S(1/2)＜3

提问时间：2021-02-05

答案

S(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+...anx^n
设an=a1+(n-1)d;
有S(1)=a1+a2+a3...=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d).=na1+dn(n-1)/2=n^2;
可以凑出d=2,a1=1;所以an=1+(n-1)2=2n-1;
S(x)=∑anx^n=∑(2n-1)x^n;
S(1/2)=∑(2n-1)(1/2)^n=∑n(1/2)^(n-1)-∑(1/2)^n;
设F(x)=x^n,求导后f(x)=nx^(n-1);
当n趋于无穷时有∑x^n=x/(1-x),所以求导后∑nx^(n-1)=1/(1-x)^2;
所以S(1/2)=1/(1-1/2)^2-(1/2)/(1-1/2)=3；
由于n不是无穷大且S(x)随着n增大而增大,所以S(1/2)<3.