题目

已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线l：y＝

3

(x+1)与椭圆相交于A、B两点，若线段AB的中点M到原点的距离为1，且|AB|=2．
（1）求点M坐标；
（2）求椭圆方程．

提问时间：2021-02-05

答案

（1）设直线与x、y轴的交点分别为C，D，其坐标为C（-1，0）、D（0，

3

）
由于M是AB的中点，则M在直线上，且其到原点的距离为1，以原点为中心做半径为1的圆与直线相交于两点，C（-1，0），E（-

1

2

，

3

2

），则E点即是M点（C点不满足）
∴M（-

1

2

，

3

2

）；
（2）又由于AB长度为2，所以MA，MB长度为1，且MX，MY长度分别为1，所以A、B分别于C、D重合
设椭圆方程为

x2

b2

+

y2

a2

＝1（a＞b＞0），则a=1，b=

3

∴椭圆方程为x²+

y2

3

=1．

（1）确定直线与x、y轴的交点，即为A，B两点，即可求出点M坐标；
（2）根据A，B两点的坐标，即可求得椭圆方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：本题考查椭圆的标准方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．