题目

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若a=1，且2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（　　）
A. （1，3]
B. [2，4]
C. （2，3]
D. [3，5]

提问时间：2021-02-04

答案

△ABC中，由余弦定理可得：2cosC=

a2+b2−c2

2ab

，
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴

1+b2−c2

b

+c=2b，化简可得：（b+c）²-1=3bc，
∵bc≤（

b+c

2

）²，
∴（b+c）²-1≤3×（

b+c

2

）²，
解得：b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．
∴a+b+c≤3，
再由任意两边之和大于第三边可得：b+c＞a=1，
故有a+b+c＞2，
则△ABC的周长的取值范围是（2，3]，
故选：C．