题目

已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴上的两点，点A在点B的左侧，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．
（1）如图情况下：a、c的符号之间有何关系？
（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；
（3）在（2）的条件下，如果b=-4，AB=4

3

，求a、c的值．

提问时间：2021-02-04

答案

（1）由图可知：当抛物线开口向下，即a＜0时，c＜0；当抛物线开口向上，即a＞0时，c＞0；因此a、c同号．（2）设A（m，0），B（n，0），抛物线的解析式y=ax2+bx+c中，令y=0，得：ax2+bx+c=0，故OA•OB=mn=ca；而OC2=c...

（1）此题较简单，根据A、B点的位置即可判断出当抛物线开口向下时，函数图象与y轴交于负半轴，当抛物线开口向上时，函数图象与y轴交于正半轴，即a、c同号．
（2）当CO²=OA•OB时，可用c表示出OC，用a、c表示出OA•OB，代入上式即可求得a、c是否为倒数关系．
（3）此题可沿用（2）的思路，首先将b值代入抛物线的解析式中，可依据韦达定理表示出AB的长，几何a、c的倒数关系，即可求得a、c的值．

本题考点：二次函数综合题．

考点点评：此题主要考查的是二次函数图象与系数的关系以及根与系数的关系，难度适中．