题目

定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=2，且当a，b∈[-1，1]，a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）试问函数f（x）的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由并加以证明．
（2）若

1

2

f（x）≤m²+2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-02-04

答案

（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，
则A、B两点的纵坐标相同，设它们的横坐标分别为 x₁ 和x₂，且x₁＜x₂．
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁ ）+f（-x₂）=

f(x1)+f(−x2)

x1+(−x2)

[x₁+（-x₂）]．
由于

f(x1)+f(−x2)

x1+(−x2)

＞0，且[x₁+（-x₂）]＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数f（x）在[-1，1]上是增函数．
这与假设矛盾，故假设不成立，即 函数f（x）的图象上不存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直．
（2）由于

1

2

f(x)≤m2+2am+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
∴故函数f（x）的最大值小于或等于2（m²+2am+1）．
由于由（1）可得，函数f（x）是[-1，1]的增函数，故函数f（x）的最大值为f（1）=2，
∴2（m²+2am+1）≥2，即 m²+2am≥0．
令关于a的一次函数g（a）=m²+2am，则有

g(−1)＝m2−2m≥0 g(1)＝ m2+2m≥0

，
解得 m≤-2，或m≥2，或 m=0，故所求的m的范围是{m|m≤-2，或m≥2，或 m=0}．

（1）假设函数f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直，推出函数f（x）在[-1，1]上是增函数，这与假设矛盾，可得假设不成立，命题得证．
（2）由题意可得函数f（x）的最大值小于或等于2（m²+2am+1），即m²+2am≥0．令关于a的一次函数g（a）=m²+2am，则有

g(−1)＝m2−2m≥0 g(1)＝ m2+2m≥0

，由此求得m的范围．

本题考点：反证法与放缩法；函数恒成立问题．

考点点评：本题主要考查用反证法证明数学命题，函数的恒成立问题，体现了转化的数学而思想，属于中档题．