题目

在一无限大接地导体平板附近有一点电荷q,它离板面的距离为d,求导体表面上各点的感应电荷面密度@.

提问时间：2021-02-04

答案

（设：大平板上任意点到q的垂足的距离为r,感应电荷面密度为σ,k=1/(4πε0),R=(dd+rr)^0.5）
由电的镜像法可知：以大平板为分界面,在q所在的半无穷空间中,q与大平板间的电场分布,和（去掉大平板）q与关于平板对称位置上的像电荷-q间的电场分布,完全相同.这样,大平板上的电场E=2(kq/RR)(d/R)=2kqqd/(dd+rr)^1.5=qd/(dd+rr)^1.5/(2πε0).
紧贴大平板对着q的那一侧的表面的两侧做两个小的同样的平行高斯面dS,再用垂直于表面的高斯面封闭上述平行高斯面.E垂直于大平板表面,故上述的垂直高斯面面上无电通量；导体内无电场,故导体内的平行高斯面面上也无电通量；由高斯定理,E*dS=dq/ε0=(σ*dS)/ε0,即σ=E*ε0=[qd/(dd+rr)^1.5/(2πε0)]*ε0=qd/[2π(dd+rr)^1.5].