题目

设函数f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）在[1，3]的最小值；
（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数N，使得当n≥N时，不等式ln

n+1

n

＞

n−1

n3

恒成立．

提问时间：2021-02-04

答案

（1）由题意知，f（x）的定义域为（-1，+∞），
b=-12时，由f/(x)＝2x−

12

x+1

＝

2x2+2x−12

x+1

＝0，得x=2（x=-3舍去），
当x∈[1，2）时，f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，
所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，
所以f（x）_min=f（2）=4-12ln3
（2）由题意f/(x)＝2x+

b

x+1

＝

2x2+2x+b

x+1

＝0在（-1，+∞）有两个不等实根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，
设g（x）=2x²+2x+b，则

△＝4−8b＞0 g(−1)＞0

，解之得0＜b＜

1

2

；
（3）对于函数f（x）=x²-ln（x+1），令函数h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
则h/(x)＝3x2−2x+

1

x+1

＝

3x3+(x−1)2

x+1

，
∴当x∈[0，+∞）时，h′（x）＞0
所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，
又h（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取x＝

1

n

∈(0，+∞)，则有ln(

1

n

+1)＞

1

n2

−

1

n3

恒成立．
显然，存在最小的正整数N=1，使得当n≥N时，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

−

1

n3

恒成立

（1）当b=-12时，由f′(x)＝

2x2+2x−12

x+1

＝0得x=2，可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，故f（x）在[1，3]的最小值在x=2时取得．
（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点，即使f′(x)＝

2x2+2x+b

x+1

＝0在（-1，+∞）有两个不等实根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，可以利用一元二次函数根的分布可得

△＝4−8b＞0 g(−1)＞0

，解之即可求b的范围．
（3）先构造函数h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的单调性，求出函数h（x）的最小值，从而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令x＝

1

n

，即可证得结论．

本题考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题以函数为载体，考查函数的最值，考查函数的单调性．第一问判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值．第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点是解题的关键，第三问的关键是构造新函数，利用导数证明不等式．