题目

求几道不定积分的题
首先高数我恨你!
1、x^r/根号（1+x^2r+2)
2、1/根号（x^2-2x+5)
3、x/(sinx)^2
4、In(e^x+1)/e^x
5、xarctanx/根号(1+x^2)
6、x^11/(x^8+3x^4+2)

提问时间：2021-02-03

答案

深夜.
1、原式=[1/(r+1)]∫{1/[√[x^2(r+1)+1]]}d(x^(r+1))
=[1/(r+1)]ln|x^(r+1)+√[x^(2r+2)+1]|+C
2、原式=∫{1/√[(x-1)^2+2^2]}d(x-1)
=ln|x-1+√(x^2-2x+5)|+C
3、原式=-∫xd(cscx)
=-xcscx+∫cscxdx
=-xcscx-cscxcotx+C
4、令t=e^x
原式=∫[ln(t+1)]/(t^2)d(t)
=-∫ln(t+1)d(1/t)
=-[ln(t+1)]/t+∫1/[t(t+1)]dt
=-[ln(t+1)]/t+∫(1/t)dt-∫[1/(t+1)]dt
=-[ln(t+1)]/t+lnt-ln(t+1)+C
=-[ln(t+1)]/t+ln[t/(t+1)]+C
5、令t=arctanx,
x=tant dx=sec^2tdt
原式=∫ttantsectdt
=∫td(sect)
=tsect-∫sectdt
=tsect-ln|tant+sect|+C
将t=arctanx代回上式即为答案
6、这题用手机打复杂,说说思路吧.
原式=(1/12)∫(1/(x^8+3x^4+2)d(x^12)
对上式令t=x^4
化简得：(1/4)∫(t^2)/(t^2+3t+2)dt
分子加3t+2-3t-2然后拆项,再利用有理函数分解因式之类的再拆项,再凑微分,再套常用公式.说起来复杂,其实并不复杂.
睡觉去.