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题目
已知函数f(x)=ax3+bx2-x+c(a,b,c∈R且a≠0),
(1)若b=1且f(x)在(2,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围;
(2)若存在实数x1,x2(x1≠x2)满足f(x1)=f(x2),是否存在实数a,b,c使f(x)在
x1+x2
2
处的切线斜率为0,若存在,求出一组实数a,b,c否则说明理由.

提问时间:2021-02-03

答案
(1)当b=1时f'(x)=3ax2+2x-1,f(x)在(2,+∞)上存在单调递增区间,即f'(x)在(2,+∞)上存在区间使f'(x)>0.
①a>0时,f'(x)=3ax2+2x-1是开口向上的抛物线.
显然f'(x)在(2,+∞)上存在区间,使f'(x)>0即a>0适合.
②a<0时,f'(x)=3ax2+2x-1是开口向下的抛物线.
要使f'(x)在(2,+∞)上存在区间有f'(x)>0,则f'(x)=3ax2+2x-1=0在(2,+∞)上有一解或两解.
即f'(2)>0或
△>0
f′(2)≤0
1
3a
>2
⇒a>−
1
4
或无解,
a<0∴a∈(−
1
4
,0)

综合得a∈(−
1
4
,0)∪(0,+∞)

(2)不存在实数a,b,c满足条件.
事实上,由f(x1)=f(x2)得:a(x13-x23)+b(x12-x22)-(x1-x2)=0
∵x1≠x2∴a(x12+x1x2+x22)+b(x1+x2)-1=0
又f'(x)=3ax2+2bx-1
f′(
x1+x2
2
)=3a(
x1+x2
2
)2+2b•
x1+x2
2
−1

=3a•
x
2
1
+
x
2
2
+2x1x2
4
+1−a(
x
2
1
+x1x2+
x
2
2
)−1=−
a
4
(x1x2)2

∵a≠0且x1x2≠0∴f′(
x1+x2
2
)≠0

故不存在实数a,b,c满足条件.
(1)首先由f(x)在(2,+∞)上存在单调递增区间,得(2,+∞)上存在区间使f'(x)>0;然后根据f'(x)=3ax2+2x-1为二次函数,则对a进行分类讨论;特别是a<0时,有f'(x)=3ax2+2x-1=0在(2,+∞)上有一解或两解两种情况;最后列出相应的不等式或不等式组解之即可.
(2)首先由f(x1)=f(x2)代入f(x)整理可得a(x12+x1x2+x22)+b(x1+x2)-1=0;再化简可得f′(
x1+x2
2
)=
a
4
(x1-x22≠0;最后判断出不存在这样的实数a,b,c满足条件.

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本题考查了函数单调性与其导数的关系,及导数的几何意义等基本知识;同时考查了学生分类讨论的思想方法与代数运算能力.

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