题目

直线x/4+y/3=1与椭圆x^2/16+y^2/9=1相交于A、B两点,椭圆上的点P使三角形PAB的面积等于12,这样的点P共有（）个

提问时间：2021-02-03

答案

这一题的基本思路是：求出椭圆上的点到直线x/4+y/3=1的距离d最大是多少.因为从题目已经知道三角形PAB的底边是|AB|=5(在直角三角形OAB中用勾股定理,A(0,3）,B(4,0)),而面积等于12,那么只要判断最大距离d的大小：
如果d24/5则有两个点满足题意.
现在我们找这样的点M,满足这个点在椭圆上,且相对于椭圆上其他点到直线x/4+y/3=1距离最大.很显然,这样的点M肯定在一条与直线x/4+y/3=1平行且与椭圆相切的直线上.
如果你知道隐函数求导的方法,这道题可以比较快的做出来,否则就设一条与x/4+y/3=1平行的直线方程x/4+y/3=k,联立x/4+y/3=k和x^2/16+y^2/9=1,用判别式=0,求出切点.
下面的方法是用隐函数求导的方法(如果不会,建议学习,比较方便):
对y^2/9=1-x^2/16求导,为2yy'/9=x/8,得到y'=-9x/16y,又因为直线x/4+y/3=1的斜率为-3/4,
令y'=-9x/16y=-3/4求出x/y=4/3,将x=(4/3)y代入x^2/16+y^2/9=1,求出y=3/(根号2)
又x/y=2/3,得到x=4/(根号2),所以M(4/(根号2),3/(根号2))
再用点到直线距离公式,求出M到直线x/4+y/3=1距离d=(根号（2）+1）*12/5>24/5,所以有两个点P符合
补充：设AX+BY+C=0,点为（x,y)点到直线距离公式：d=|Ax+By+C|/（根号（A^2+B^2））