题目

将一个四棱柱（六面体）形橡皮泥只切一刀,截去一个顶点,会变成一个几面体?它的顶点数和棱数
将变成多少?

提问时间：2021-02-03

答案

四棱柱本来6个面,8个顶点,12条棱
截去一个顶点,留下一个截面,却没有破坏任何一个已有的面
所以面数增加了1,6+1=7,变成一个七面体
 
而顶点和棱数需要分类讨论：
1° 截面三角形的三个顶点都在四棱柱的顶点上
    少了3条棱和1个顶点,截面带来3条新的棱,没有新的顶点
    所以棱数12-3+3=12,顶点数8-1=7
2° 截面三角形的三个顶点中的两个在四棱柱的顶点上
    少了2条棱和1个顶点,截面带来3条新的棱和1个新的顶点
    所以棱数12-2+3=13,顶点数8-1+1=8

3° 截面三角形的三个顶点中的两个不在四棱柱的顶点上
    少了1条棱和1个顶点,截面带来3条新的棱和2个新的顶点
    所以棱数12-1+3=14,顶点数8-1+2=9
4° 截面三角形的三个顶点都不在四棱柱的顶点上
    只少了1个顶点,截面带来3条新的棱和3个新的顶点
    所以棱数12+3=15,顶点数8-1+3=10
 
综上所述：四棱柱截去一个顶点会变成一个七面体
有7个顶点12条棱,或有8个顶点13条棱,或有9个顶点14条棱,或有10个顶点15条棱