题目

已知向量a=(sinα,cosα),向量b=(6sinα+cosα,7sinα-2cosα),设函数f(α)=向量a*向量b.
⑴求函数f(α)的最大值；
⑵在锐角三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,f(A)=6,且△ABC的面积为3,b+c=2+3√2,求a的值.

提问时间：2021-02-03

答案

（1）f(α)=sinα(6sinα+cosα)+cosα(7sinα-2cosα)
=6(sinα)^2+8sinαcosα-2(cosα)^2
=3(1-cos2α)+4sin2α-(1+cos2α)
=4(sin2α-cos2α)+2
=4(√2）sin（2α-45°）+2,
最大值为4√2+2.
（2）f(A)=4√2sin(2A-45°）+2=6,sin(2A-45°）=1/√2,A为锐角,
∴2A-45°=45°,A=45°.
∴S△ABC=bc/(2√2）=3,bc=6√2,
由余弦定理,a^2=(b+c)^2-2bc(1+cosA)
=(2+3√2）^2-12√2（1+1/√2）
=10,
∴a=√10.