题目

已知函数f（x）=ax³+bx+1的图象经过点（1，-1），且在x=1处f（x）取得极值，
求（1）函数f（x）解析式；    
（2）f（x）的单调递增区间．

提问时间：2021-02-03

答案

（1）由函数f（x）=ax³+bx+1的图象经过点（1，-1），得a+b=-2…（1分）
f'（x）=3ax²+b …（3分）
又 f'（1）=3a+b=0…（5分）
解方程 

a+b＝−2 3a+b＝0

，得 

a＝1 b＝−3

故 f（x）=x³-3x+1  …（7分）
（2）由（1）知f'（x）=3x²-3，由f'（x）＞0 …（9分）
解得x＞1或x＜-1…（11分）
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞），…（12分）

（1）利用函数的导数在极值点处的值为0，及图象经过点（1，-1），列出方程组，求出a，b的值．
（2）将a，b的值代入导函数，令导函数大于0求出解集为递增区间．

本题考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．

考点点评：本题考查函数的极值点处的导数值为0、考查函数的单调性与导函数的符号有关：导函数大于0时，函数递增；导函数小于0时，函数递减．