题目

函数y=(x^2+4)/x在区间【1,3】的值域是

提问时间：2021-02-02

答案

y=(x²+4)/x= x+4/x
x∈[1,3]
∴y≥2√4=4,当xx=4/x即x=2时,取等号.
f(1)=5,f(3)=13/3＜5
∴值域为[4,5]
没学不等式的话用下面的
设1≤x1＜x2≤3
f(x2)-f(x1)
=(x2+4/x2)-(x1+4/x1)
=(x2-x1) - 4(x2-x1)/(x1x2)
=(x2-x1)[1- 4/(x1x2)]
=(x2-x1)(x1x2- 4)/(x1x2)
①当x1,x2∈[1,2]时,
上式＜0
此时函数单调递减
②当x1,x2∈(2,3]时
上式＞0
此时函数单调递增
∴原函数在[1,2]上单调递减,在(2,3]上单调递增.
∴最小值为f(2)=4
f(1)=5,f(3)=13/3＜f(1)
∴最大值为5
∴值域为[4,5]