题目
已知集合A={x丨x^2+ax+a+1=0},若x∈A,则x^2∈A,求a的值
提问时间:2021-02-02
答案
A 是方程 x^2+ax+a+1=0 的解集,至多两个元素.
(1)如果方程 x^2+ax+a+1=0 只有惟一解,则解必是方程 x=x^2 的根,也即 A={0}或 {1},
但方程 x^2+ax+a+1=0 不可能只有 0 根或只有 1 根.
(2)如果方程有两个根,根据条件,这两个根必有 x=x^2 的根,即 A={0,1}或{-1,1},
当 A={0,1}时,a= -1 ;当 A={-1,1}时 a 不存在.
综上可得,所求 a 的值为 -1 .
(1)如果方程 x^2+ax+a+1=0 只有惟一解,则解必是方程 x=x^2 的根,也即 A={0}或 {1},
但方程 x^2+ax+a+1=0 不可能只有 0 根或只有 1 根.
(2)如果方程有两个根,根据条件,这两个根必有 x=x^2 的根,即 A={0,1}或{-1,1},
当 A={0,1}时,a= -1 ;当 A={-1,1}时 a 不存在.
综上可得,所求 a 的值为 -1 .
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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