题目

求解几道函数题
1.设F（x）是一次函数,且f（2）+f(3x）=f（2x+1）+ x ,求f（x）
2.设F（x）是一次函数,且f（f(x)）=f(x-1）+f（x+1）-3 ,求f（x）

提问时间：2021-02-02

答案

x=1
f（2）+f(3）=f（3）+ 1
f（2）=1
x=1/2
f（2）+f(3/2）=f（2）+ 1/2
f(3/2）=1/2
所以可以解出f（x）=x-1
令f(x)=ax+b
f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b
f(x-1）=a(x-1)+b=ax-a+b
f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b
f（f(x)）=f(x-1）+f（x+1）-3
即a^2x+ab+b=ax-a+b+ax+a+b-3=2ax+2b-3
即(a^2-2a)x+ab-b+3=0对于任意x恒成立
则a^2-2a=0且ab-b+3=0
a=0或a=2
又F（x）是一次函数 所以a=2
则b=-3
f（x）=2x-3