题目

已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C,与x轴相交于点A（x1,0）,B（x2,0）...
已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C,与x轴相交于点A（x1,0）,B（x2,0）（x1（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（3）探究：在抛物线上是否存在点P,使△PAB的面积等于四边形ACMB的面积的两倍?若存在,求出所符合条件的点的坐标；若不存在,请说明理由.

提问时间：2021-02-02

答案

1、
因为x1,x2是方程x^2－2(m－1)x＋m^2－7＝0的两个根
所以x1＋x2＝2(m－1) ,x1*x2＝m^2－7
又因为(x1)^2＋(x2)^2＝10
所以(x1＋x2)^2－2x1*x2＝10
即[2(m－1)]^2－2(m^2－7)＝10
整理得：m^2－4m＋4＝0
所以m＝2
代入x^2－2(m－1)x＋m^2－7＝0 得
x^2－2x－3＝0
解得x1＝－1,x2＝3
所以A、B的坐标为：A(－1,0),B(3,0)
2、
把A、B坐标代入y＝ax^2＋bx＋c,得
a－b＋c＝0
9a＋3b＋c＝0
因为抛物线y＝ax^2＋bx＋c顶点M的纵坐标为－4
所以(4ac－b^2)/(4a)＝－4
上述三式组成方程组,解得
a＝1,b＝－2,c＝－3 (a＝0不合,已舍去)
所以抛物线的解析式是
y＝x^2－2x－3
当x＝0时,y＝－3
所以C点坐标是(0,－3)
3、
抛物线y＝x^2－2x－3的顶点是M(1,－4),AB＝3－(－1)＝4
设点P的坐标为(x,y)
S△PAB＝AB*|y|/2＝4*|y|/2＝2|y|
过M作MN⊥X轴,交X轴于N点,则
S四边形ACMB＝S△AOC＋S△BNM＋S梯形MNOC
＝1*3/2＋(3－1)*4/2＋(3＋4)*1/2
＝9
若S△PAB＝2S△PAB
则有2|y|＝2*9＝18
所以|y|＝9>4,
所以P在X轴的上方
所以y＝9
所以9＝x^2－2x－3
即x^2－2x－12＝0
解得x＝1±√13
所以存在点P使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍,坐标为：P1[(1＋√13),9],P2[(1－√13),9]