题目

对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类．若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，
（ 1）三种分类的类数之和是多少？
（ 2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同．

提问时间：2021-02-02

答案

（1）因为 a1，a2，a3，…，ai；b1，b2，b3，…，bj；c1，c2，c3，…，ck包含了1到30的所有整数，所以n≥30，另一方面，3×155=a1+a2+a3+…+ai+b1+b2+b3+…+bj+c1+c2+c3+…+ck≥1+2+3+…+30=30×312=465=3×155...

根据题意，可得a₁，a₂，a₃，…，a_i；b₁，b₂，b₃，…，b_j；c₁，c₂，c₃，…，c_k，包含了1到30的所有整数，所以n≥30，另一方面，3×155=a₁+a₂+a₃+…+a_i+b₁+b₂+b₃+…+b_j+c₁+c₂+c₃+…+c_k≥1+2+3+…+30=

30×31

2

=465=3×155．故三种分类的类数之和是30．进而论证得出答案．

本题考点：数字和问题；数字分组．

考点点评：此题也可这样解答：
（1）第一问：现在我们来看原题，共有155个盒子，而每一种分类的个数正好占据了1至30中的每一个自然数，我们先看看各种分类情况中球个数没有重复的情况，这时正好使用了个盒子，这里465正好是155的3倍，说明不可能出现分类情况中球个数重复的情况，即1至30每个数只出现1次，故分类的类数应该与1至30中自然数个数相同，故分为30类；
（2）第二问：首先理解问题，至少能找到3个盒子，它们中的两种颜色比如红和蓝的个数都相同，例如盒子一有2红2黄3蓝，盒子二有2红3黄3蓝，盒子三有2红7黄3蓝，由于三个盒子中红色和蓝色球数相同，故这三个盒子即为满足的题意的三个盒子；接下来我们来试图说明题目所要证明的结论，首先我们可以知道一定有某种分类方式，有30个盒子属于这种分类，不妨将其设为a颜色中的某种分类（即这30个盒子中a颜色球的个数相同）．现在我们的思路是在这30个盒子中再找到3个第二种颜色球个数相同的盒子．除去以上说的1种分类外，还剩下29种分类，可以得出剩下两种颜色中必有一种颜色的分类种数少于15种，否则总分类种数会超过30种，而与第一问结论矛盾．不妨设b颜色的分类种数少于15种，最多14种，那么我们可以看到，在前面提到的a颜色中的某种分类里，有30个盒子中a颜色球个数相同，而这30个盒子中b颜色的个数种类只有14种，根据抽屉原理，说明至少有3个盒子中b颜色球的个数相同，则这3个盒子中a颜色球的个数相同，b颜色球的个数也相同，即说明题目结论成立．