题目

函数f：R→R满足下述条件：对所有实数x,有f(x+19)≤f(x)+19 和 f(x+94)≥f(x)+94.求证：对所有实数x,f(x+1)=f(x)+1.

提问时间：2021-02-02

答案

一楼的反证法有漏洞.按这个证法,可以证明f(x+19·94/n)=f(x)+19·94/n对任意大的自然数n都成立,那么当n→+∞时,岂不是可以证明f(x)有无穷小的正周期,那么f(x)岂不只能是常函数了?
寂寂落定的漏洞在于：事先肯定了f(x+1)与f(x)+1有恒定方向的不等式成立.这可不一定呀.
其实,我们只能证明f(x+1)=f(x)+1,即可得到最小正周期为1.证明如下：
∵f(x+19)≤f(x)+19,∴f(x+19n)≤f(x+19(n-1))+19≤…≤f(x)+19n
由于95=19·n,所以f(x)+95≥f(x+95)=f(x+1+94)≥f(x+1)+94
得f(x+1)≤f(x)+1
同理,由f(x+94)≥f(x)+94得f(x+94m)≥f(x)+94m
取m=18,因94·18=1692=19·89+1,所以f(x)+1692≤f(x+1692)≤f(x+1)+1691
得f(x+1)≥f(x)+1
所以f(x+1)=f(x)+1