题目

设质量为m的物体在高空中由静止而下落,空气对物体运动的阻力与速率成正比,求此物体下落的速度v与时间t的关系

提问时间：2021-02-02

答案

设空气对物体的阻力为f(t)=kv(t).
物体受到合外力F(t)=mg-f(t)=mg-kv(t),方向竖直向下.
物体运动加速度a(t)=F(t)/m=g-kv(t)/m,方向竖直向下.
v(t)=∫a(t)dt=∫[g-kv(t)/m]dt
方程两边对t求导,v'=g-kv/m ...(*)
用常数变异法求解此常微分方程：
v'=-kv/m,解得v=C*exp(-kt/m)
设v(t)=C(t)*exp(-kt/m),则v'(t)=C'(t)*exp(-kt/m)-(k/m)C(t)*exp(-kt/m)
将v(t)与v'(t)代入(*)式,得C'(t)=g*exp(kt/m)
积分解得C(t)=C-(mg/k)*exp(-kt/m)
所以v(t)=[C-(mg/k)*exp(-kt/m)]*exp(-kt/m)
又v(0)=0,得C=mg/k
故v(t)=(mg/k)[exp(kt/m)-1]/exp(2kt/m).