题目

a是A的特征向量,证明a也是A*的特征向量?

提问时间：2021-02-01

答案

若a是属于A的非零特征值对应的特征向量,则a是A*的特征向量.
证明：设Aa=ka,k是非零特征值,则等式两边都左乘A*,
利用A*A=det(A)E得
det(A)a=kA*a,于是
A*a=det(A)/k*a,即a是属于det(A)/k的特征向量.
若a是属于A的零特征值对应的特征向量,即Aa=0,
此时A必不可逆,利用结论：
当r(A)=n-1时,r(A*)=1,由于AA*=0,
于是A*的列向量都是Ax=0的解,且Ax=0的基础解系只有一个无关向量,即为a,
因此A*的列向量都是a的倍数,即A*=ab^T,其中b是某个列向量,
A*a=ab^Ta=(b^Ta)a=ka,k=b^Ta,即a是A*的特征向量.
当r(A)