题目

证明在点(0,0)处f(x,y)连续且偏导数存在,但不可微
f(x,y)=x^2y^2/(x^2+y^2)^(3/2)

提问时间：2021-01-31

答案

　　教材上应该有类似的例题,依样画葫芦即可：
　　1）由于
　　　|[(x^2)(y^2)]/(x^2+y^2)^(3/2)|
　　<= {{[(x^2)+(y^2)]/2}^2}/(x^2+y^2)^(3/2)
　　= [(x^2+y^2)^(1/2)]/4 → 0,(x,y)→(0,0),
可知
　　　lim[(x,y)→(0,0)]f(x,y) = 0 = f(0,0).
　　2）由
　　　lim(x→0)[f(x,0)-f(0,0)]/x = lim(x→0)(0-0)/x = 0,
知 fx(0,0) = 0,同理,fy(0,0) = 0.
　　3）若 f(x,y) 在 (0,0) 可微,应有
　　　[△f(0,0)-df(0,0)]
　　= f(0+△x,0+△y)-f(0,0)-[fx(0,0)*dx+fy(0,0)*dy]
　　= [(△x^2)(△y^2)]/(△x^2+△y^2)^(3/2)
　　= o(ρ) (ρ→0),
其中,ρ=(△x^2+△y^2)^(1/2),但
　　　lim(ρ→0)[△f(0,0)-df(0,0)]/ρ
　　= lim(ρ→0)[(△x²)(△y²)]/(△x²+△y²)²
　　= lim(ρ→0)[(△x)(△y)/(△x²+△y²)]²
不存在,矛盾.因此 f(x,y) 在 (0,0) 不可微.