题目

设f(x)＝

ex

1+ax2

，其中a为正实数．若f（x）为R上的单调函数，求a的取值范围．

提问时间：2021-01-31

答案

∵f(x)＝

ex

1+ax2

，
∴f'（x）=ex•

1+ax2−2ax

(1+ax2)2

，
∵f（x）为R上的单调函数，
∴f'（x）≥0或f'（x）≤0在R上恒成立，
又∵a为正实数，
∴f'（x）≥0在R上恒成立，
∴ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，
∴△=4a²-4a=4a（a-1）≤0，解得0≤a≤1，
∵a＞0，
∴0＜a≤1，
∴a的取值范围为0＜a≤1．

求出f'（x），根据f（x）为R上的单调函数，转化为f'（x）≥0或f'（x）≤0在R上恒成立，根据a为正实数，将f'（x）≥0或f'（x）≤0在R上恒成立，转化为ax²-2ax+1≥0在R上恒成立，利用二次函数的性质，可知△≤0，求解即可得到a的取值范围．

本题考点：利用导数研究函数的单调性．

考点点评：考查了利用利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．属于中档题．