题目

如图，M是抛物线y²=x上的一个定点，动弦ME、MF分别与x轴交于不同的点A、B，且|MA|=|MB|．证明：直线EF的斜率为定值．

提问时间：2021-01-31

答案

设K，直线ME的斜率为 k（k＞0），
则直线MF的斜率为-k，直线ME 的方程为
y-y₀=k（x-y₀²），由

y−y0＝k(x−y02) y2＝x

得ky²-y+y₀（1-ky₀）=0．
于是y0yE＝

y0(1−ky0)

k

，
所以yE＝

1−ky0

k

．
同理可得yF＝

1+ky0

−k

，
∴kEF＝

yE−yF

xE−xF

=

yE−yF

yE2−yF2

=

1

yE+yF

＝−

1

2y0

（定值）

设直线ME的斜率为 k（k＞0），则直线MF的斜率为-k，直线ME的方程为y-y₀=k（x-y₀²），由

y−y0＝k(x−y02) y2＝x

得ky²-y+y₀（1-ky₀）=0．于是yE＝

1−ky0

k

．同理可得yF＝

1+ky0

−k

，由此知直线EF的斜率为定值．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题考查直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．