题目

在三角形ABC中,D为BC上一点,BD=1/2DC,角ADB=120度,AD=2,若三角形ADC的面积为；3减去根号3,则角BAC=

提问时间：2021-01-31

答案

S△ABD:S△ADC=BD:DC=1:2,△ABD=(3-√3)/2,
作CG⊥AD,交AD于G.
AD*CG/2=3-√3,CG=3-√3,
因∠CDA=180°-∠ADB=60°,所以∠DCG=30°,所以DG=DC/2,DC=2DG,
DC²-DG²=CG²,即（2DG）²-DG²=(3-√3)²=12-6√3,DG=√3-1,所以AG=AD-DG,
AG=2-(√3-1)=3-√3,tg∠DAC=CG/AG=(3-√3)/(3-√3)=1,
所以∠DAC=45°（∠DAC=∠ADB-∠DCG=120°-∠DCG＜135°）,
同理作BE⊥AD交AD延长线于E.∠BDE=∠CDA=60°,∠DBE=30°,DE=BD/2,BD=2DE
又S△ABD=AD*BE/2,BE=[2*(3-√3)/2]/2=(3-√3)/2
BD²-DE²=BE²,[(3-√3)/2]²=(2DE)²-DE²,DE=(√3-1)/2
可求tg∠BAD=BE/(AD+DE)=[(3-√3)/2]/[2+(√3-1)/2]
=[(3-√3)/2]/[(3+√3)/2]=(3-√3)/(3+√3)=2-√3＝0.268,
查正切函数表可知∠BAD度数约为15°,∠BAC=∠DAC+∠BAD=15°+45°=60°.