题目

关于x的方程x2+ax+1/x2+a/x+b=0有实根,则a2+b2的最小值为

提问时间：2021-01-30

答案

令t=x+1/x,则：t^2=(x+1/x)^2=(x-1/x)^2+4>=4,
方程有解——》b=-(at+t^2-2),
——》a^2+b^2
=a^2+t^2a^2+2t(t^2-2)a+(t^2-2)^2
=(t^2+1)[a+t(t^2-2)/(t^2+1)]^2+(t^2-2)^2-t^2(t^2-2)^2/(t^2+1)
>=(t^2-2)^2/(t^2+1),
即a^2+b^2的最小值m=(t^2-2)^2/(t^2+1),
令s=t^2+1,则s>=5,
——》m=s+9/s-6,
——》dm/ds=1-9/s^2>0,
即m为增函数,
——》m>=5+9/5-6=4/5,
即a^2+b^2的最小值为4/5.