题目

附加题：
在黑板上写着2000个数：1，2，3，…，2000，每次允许擦去两个数a、b （a≥b）并写上a-b、

ab

、

ab

这三个数（即

ab

写两遍），如此进行8000次后得到了10000个数，问：这10000个数能否都小于500？

提问时间：2021-01-30

答案

由于a2+b2＝(a−b)2+(ab)2+(ab)2，所以黑板上所有数的平方和是始终不变的．而一开始时，所有数的平方和为12+22+32+…+20002=16×2000×2001×4001 ＞16×2000×2000×4000＝2.666…× 109＞2.5×109=5002...

由于a2+b2＝(a−b)2+(

ab

)2+(

ab

)2，所以黑板上所有数的平方和是始终不变的．再推出1²+2²+3²+…+2000²的取值范围，即可推出该市的取值范围．

本题考点：有理数无理数的概念与运算．

考点点评：本题考查了有理数、无理数的概念与运算，操作中变化的量很多，若不能抓住其万变之“宗”，便很难下手．经过观察与试验，我们发现它的不变量是平方和．