题目

定义在R上的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时，f（x）=-x²+mx-1．
（1）当x∈（0，+∞）时，求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）=0有五个不相等的实数解，求实数m的取值范围．

提问时间：2021-01-30

答案

（1）设x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=-x²-mx-1（2分）
又f（x）为奇函数，即f（-x）=-f（x），（3分）
所以，f（x）=x²+mx+1（x＞0），（4分）
又f（0）=0，（6分）
所以f(x)＝

x2+mx+1 x＞0 0  x＝0 −x2+mx−1  x＜0

（7分）
（2）因为f（x）为奇函数，所以函数y=f（x）的图象关于原点对称，（8分）
由方程f（x）=0有五个不相等的实数解，得y=f（x）的图象与x轴有五个不同的交点，（9分）
又f（0）=0，所以f（x）=x²+mx+1（x＞0）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点，（10分）
即，方程x²+mx+1=0有两个不等正根，记两根分别为x₁，x₂（11分）
⇒

△＝m2−4＞0 x1+x2＝−m＞0 x1•x2＝1＞0

⇒m＜−2，（14分）
所以，所求实数m的取值范围是m＜-2（15分）

（1）先根据f（x）是定义在R上的奇函数，判断f（0）=0，再根据当x＜0时，f（x）=-f（-x）根据x，0时，f（x）=-x²+mx-1得到x＞0时函数的解析式，最后综合即可得到答案．
（2）由方程f（x）=0有五个不相等的实数解，得y=f（x）的图象与x轴有五个不同的交点，又f（0）=0，所以f（x）=x²+mx+1（x＞0）的图象与x轴正半轴有两个不同的交点即，方程x²+mx+1=0有两个不等正根，记两根分别为x₁，x₂得出关于m的不等关系，从而求得实数m的取值范围．

本题考点：函数与方程的综合运用；奇函数．

考点点评：本小题主要考查函数与方程的综合运用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．