题目

an=2n-1,若不等式(1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)≥k*根号下（2n+1)对一切n∈N均成立,求k的最大值

提问时间：2021-01-30

答案

（1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)≥k√(2n+1)
要求k的最大值,即是求[（1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)]/√(2n+1)的最小值
设函数f(x)=[（1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)]/√(2n+1)
则 f(x+1)=[（1+1/a1)(1+1/a2).(1+1/an)(1+1/a(n+1)]/√(2n+3)
f(x)所有项都是正数
用f(x+1)/f(x)=1+1/a(n+1) * √(2n+1) / √(2n+3)
=1+1/2n+1 * √(2n+1) / √(2n+3)
=2n+2/2n+1 * √(2n+1) / √(2n+3)
=√{[(2n+2)^2]/[(2n+1)*(2n+3)]}
显然(2n+2)^2>(2n+1)*(2n+3) (作差即可得出）
所以√{[(2n+2)^2]/[(2n+1)*(2n+3)]}>1
所以f(x+1)/f(x)>1
f(x+1)>f(x)
即此函数递增,最小值为f(1)=2/√3=2√3/3