题目

已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3).（1）求抛物线的解析式和对称轴.
已知抛物线y=ax^2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3).
（1）求抛物线的解析式和对称轴.
（2）若点D和点C关于抛物线的对称轴对称,求四边形ABDC的面积.
（3）若抛物线的对称轴与线段BC交于点E,点F为y轴上一动点,当△CEF和△ABC相似时,求点F的坐标.

提问时间：2021-01-30

答案

（1）因为抛物线过（-1,0）、（3,0）,因此设解析式为 y=a(x+1)(x-3) ,
将 x=0 ,y=3 代入可得 3= -3a ,解得 a= -1 ,
因此抛物线解析式为 y= -(x+1)(x-3)= -x^2+2x+3 .
（2）因为抛物线对称轴为 x=1 ,所以 D 坐标为（2,3）,
由于 CD//AB ,且 CD=2 ,AB=4 ,高 h=3 ,所以 SABDC=(2+4)*3/2=9 .
（3）容易求得 E（1,2）.设 F（0,b）,由于 ∠ABC=∠ECF=45°,
所以,当 BA/BC=CE/CF 或 BA/BC=CF/CE 时,两个三角形相似,
则 4/(3√2)=√2/CF 或 4/(3√2)=CF/√2 ,
解得 CF=3/2 或 4/3 ,
因此由 3-b=3/2 或 3-b=4/3 得 b=3/2 或 b=5/3 ,
即 F 坐标为（0,3/2）或（0,5/3）.