题目

如图 ,f为抛物线y^2=2px的焦点,a(4,2)为抛物线内一定点,p为抛物线上一动点且pa+pf最小值为8,如果过f的直线交抛物线于m,n2点,且mn>=32,求直线L的倾斜角的取值范围

提问时间：2021-01-30

答案

y^2=2px
焦点为F(p/2,0),准线为：x=-p/2
P为抛物线上的一动点,过P作PQ//x轴交准线于Q
则：PF=PQ
所以,PA+PF=PA+PQ≥AQ
所以,A、P、Q同一直线时,PA+PF的值最小
最小值=A的横坐标-Q的横坐标=4+p/2
所以,4+p/2=8
p=8
所以,抛物线方程为：y^2=16x,焦点F(4,0).
设过F的直线方程是y=k(x-4),代入得到:k^2(x^2-8x+16)-16x=0
即有k^2x^2-(8k^2+16)x+16k^2=0
MN=x1+x2+p=(8k^2+16)/k^2+8=8+16/k^2+8>=32
16/k^2>=16
k^2