题目
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数)满足条件:①图象过原点;②f(1+x)=f(1-x);③方程f(x)=x有两个相等的实根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在x∈[-1,2]的值域.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在x∈[-1,2]的值域.
提问时间:2021-01-30
答案
(1)由①图象过原点可得f(0)=c=0,
由②f(1+x)=f(1-x)可得函数的对称轴为x=−
=1
由③方程f(x)=x有两个相等的实根可得ax2+bx+c=x,
即ax2+(b-1)x+c=0有两个相等的实根,
故△=(b-1)2-4ac=0,
联立方程组可解得a=−
,b=1,
故f(x)的解析式为:f(x)=−
x2+x;
(2)由(1)知f(x)=−
x2+x=−
(x−1)2+
,
由二次函数的性质可知函数在[-1,1]单调递增,在[1,2]单调递减,
故当x=1时,函数取最大值f(1)=
,
当x=-1时,函数取最大值f(-1)=−
,
故f(x)在x∈[-1,2]的值域为[−
,
]
由②f(1+x)=f(1-x)可得函数的对称轴为x=−
b |
2a |
由③方程f(x)=x有两个相等的实根可得ax2+bx+c=x,
即ax2+(b-1)x+c=0有两个相等的实根,
故△=(b-1)2-4ac=0,
联立方程组可解得a=−
1 |
2 |
故f(x)的解析式为:f(x)=−
1 |
2 |
(2)由(1)知f(x)=−
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
由二次函数的性质可知函数在[-1,1]单调递增,在[1,2]单调递减,
故当x=1时,函数取最大值f(1)=
1 |
2 |
当x=-1时,函数取最大值f(-1)=−
3 |
2 |
故f(x)在x∈[-1,2]的值域为[−
3 |
2 |
1 |
2 |
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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