题目

已知函数f（x）=以a为底【（1-mx）/（x-1）】的对数,是奇函数（a>0,a不等于1）判断f（x）在区间（1,正无穷）上的单调性并加以证明

提问时间：2021-01-30

答案

因为f（x）是奇函数,故-f（x）=f（-x）即：
—log以a为底【（1-mx）/（x-1）】的对数=log以a为底【（1+mx）/（-x-1）】的对数
即log以a为底【（x-1）/（1-mx）】的对数=log以a为底【（1+mx）/（-x-1）】的对数
即 【（x-1）/（1-mx）】=【（1+mx）/（-x-1）】
解出m=1或m=-1,代入原式,m=1不符,故m=-1
此时f（x）=log以a为底【（1+x）/（x-1）】的对数
定义域（－∞,-1）∪（1,＋∞）
下面求单调性有两种方法：
方法一：导函数方法
对f（x）求导得：f′（x）=-2[1／（x＋1）*（x-1）]log以a为底e的对数
在（1,＋∞）上-2／[（x＋1）*（x－1）]显然为负,故只需讨论“log以a为底e的对数”的正负即可
①0＜a＜1时,整体为正,故大于0,f(x)单调递增
②a＞1时,整体为负,f（x）单调递减
方法二：复合函数的单调性
f（x）= log以a为底【（1+x）/（x-1）】的对数
=log以a为底【（x-1+2）/（x-1）】的对数
=log以a为底【1+2/（x-1）】的对数
而1+ 2/（x-1）是平移后的反比函数,在（1,＋∞）上单调递减,
由复合函数的单调性“减减得增,减增得减”的道理,下面只需要判断以a为底的对数函数的单调性即可,
①0＜a＜1时,对数函数是减得,故复合函数为增
②a＞1时,对数函数为增,故复合函数为减