题目

问在求函数值域时,用判别式求,如何判断自变量的取值范围.请详细说明并举几个特殊例子

提问时间：2021-01-30

答案

用判别式法求函数的值域,是把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0,通过方程有实根,判别式△≥0,从而求得原函数的值域.此方法常用于形如y=(ax^2+bx+c)/(a'x^2+b'y+c'),其中a、a'不同时为0.用判别式求函数值域时,一般不用判断自变量的取值范围,只知道x有意义就可以了.
　　例、求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域.
将原函数变形整理为(y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0　　　　　　　　　（＊）
　　当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0,解得：2＜x≤10/3
　　当y=2时,方程(＊)无解.
∴函数的值域为2＜y≤10/3.
　　归纳：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域.常适应于形如y=(ax^2+bx+c)/(a'x^2+b'x+c')及y=ax+b±√(cx2+dx+e)的函数.