题目

1.单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的位移s（厘米）和时间t（秒）的函数关系为s=10sin（πt+1）,那么单摆来回摆动一次所需的时间为多少秒?
2.已知向量a=（cosα,sinα）,b=（cosβ,sinβ）.
（1）求a·（a+2b）的取值范围.
（2）若α-β=π/3,求|a+2b|.
3.已知向量a=（3,4）,b（4,3）,若（xa+yb）⊥a,且|xa+yb|=1,求x,y的值.
4.已知向量m=（√3*sinx,cosx）,n=（cosx,cosx）,p=（2√3,1）.
（1）若m‖p,求1+3sinxcosx-2{（cosx）的平方}的值.
（2）若0

提问时间：2021-01-29

答案

1、摆动一次 就是 半个周期 = (π/2π)/2 ；
2、（1）∵a=（cosα,sinα）,b=（cosβ,sinβ）
∴a+2b=（cosα+2cosβ,sinα+2sinβ）
a·（a+2b）=cosα（cosα+2cosβ）+sinα（sinα+2sinβ）
=cos²α+2cosαcosβ+sin²α+2sinαsinβ
=1+2cos（α-β）
∵-1≤cos（α-β）≤1
∴-1≤1+2cos（α-β）≤3
∴a·（a+2b）的取值范围为[-1,3]；
（2）|a+2b|²=（cosα+2cosβ）²+（sinα+2sinβ）²
=cos²α+4cosαcosβ+4cos²β+sin²α+4sinαsinβ+4sin²β
=5+4cos（α-β）
∵α-β=π/3
∴cos（α-β）=cosπ/3=1/2
∴|a+2b|²=5+4*1/2=7
故|a+2b|=√7；
3、∵ 向量a=（3,4）,b（4,3）,
xa+yb=x（3,4）+y（4,3）=（3x+4y,4x+3y）
（xa+yb）⊥a,
∴3（3x+4y）+4(4x+3y)=0,即：x+y=0.①
又|xa+yb|=1,
∴（3x+4y）²+（4x+3y）²=1,即：25x²+48xy+25y²=1.②
由①,②联立可解得：x=√2/2,y=-√2/2或x=-√2/2,y=√2/2
4、∵向量m=（√3*sinx,cosx）,p=（2√3,1）
且m‖p
∴√3sinx=2√3cosx,即：sinx=2cosx
又sin²x+cos²x=1,∴
cos²x=1/5
1+3sinxcosx-2cos²x
=1+6cos²x-2cos²x
=1+4cos²x
=1+4*（1/5）
=9/5；
（2）f（x）=m·n=√3sinxcosx+cos²x
=√3/2sin2x+（1+cos2x）/2
=2sin（2x+π/6）+1/2
∵0